Menggombal ternyata tidak semudah yang dibayangkan. Celakanya ada tantangan dari Kompasiana untuk Menggombal dengan Sederhana. He..he.. susah juga.. Dan ini adalah gombal hasil perenungan sekian jam untuk mencari wangsit..
Engkau suka aljabar Aku suka aritmatika Hatiku sungguh berdebar Melihatmu lewat di depan mata
Lima tambah enam sama dengan sebelas Dua tambah tujuh sama dengan sembilan Ketika kau menatapku sekilas Hati bergetar tak tertahankan
Bunga mawar berbau harum Bunga melati sangatlah indah Engkau tiba-tiba tersenyum Hatiku pun menjadi sumringah
Contoh bilangan kuadrat adalah empat Contoh bilangan prima dua puluh sembilan Namun satu kata yang terucap Membuat semangatku terbang tak karuan
Sumber gambar: detikHealth
(Dan ini yang kau ucapkan):
Lima kali lima sama dengan dua puluh lima Ya, hari ini kita ulangan matematika
Hiks …….
Dua tambah tujuh sama dengan sembilan Sembilan dikurangi satu sama dengan delapan Sungguh kami sangat mengharapkan Bu guru lupa kalau sekarang harus ulangan
Karena…
Dalam lingkaran ada radius Padasegilima ada diagonal Cinta kami sungguh serius Matematika nya saja yang jual mahal
Hari itu pembelajaran di kelas saya masuk ke materi Perbandingan. Di kelas tujuh perbandingan yang dipelajari meliputi menyatakan perbandingan, perbandingan senilai, berbalik nilai, menggambarkan grafik juga penerapan perbandingan dalam kehidupan nyata.
Pelajaran diawali dengan penayangan slide. Gambar semangkuk bakso Malang tampak demikian menggoda.
Sumber gambar : Tangkapan layar Pribadi
Anak anak tertawa. “Hmmm, enak,,” komentar mereka.
Setelah berbicara sedikit tentang kuliner kebanggaan Malang ini, baik tentang sejarah terciptanya bakso dan beda bakso Malang dengan bakso lainnya materi langsung masuk ke cara menyederhanakan perbandingan.
Dalam powerpoint disebutkan : Harga sebuah bakso besar adalah Rp 5000,00, dan harga sebuah bakso kecil adalah Rp 2000,00. Berapa perbandingan harga bakso besar dan bakso kecil?
Menyederhanakan perbandingan bukan hal asing bagi siswa. Materi ini sudah pernah mereka dapatkan saat SD kira kira kelas 4-5 .
Sebuah perbandingan bisa disederhanakan dengan membagi dengan bilangan yang sama. Seperti contoh di atas berbandingan harga bakso besar dan bakso kecil adalah 5000 : 2000 atau 5 : 2.
Setelah menyederhanakan perbandingan materi masuk ke perbandingan senilai dan berbalik nilai.
Secara sederhana perbandingan senilai adalah perbandingan dari dua buah hal ataupun lebih yang jika salah satu variabelnya bertambah maka variabel yang lainnya juga ikut bertambah dengan perbandingan tetap, dan berlaku sebaliknya.
Contoh perbandingan senilai adalah Perbandingan antara jumlah buku dan harga yang harus dibayar. Seperti tampak pada tabel berikut:
Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dua hal ataupun lebih yang jika salah satu variabelnya bertambah maka variabel yang lainnya menjadi menurun dan berlaku sebaliknya. Ciri dari perbandingan berbalik nilai adalah hasil kalinya tetap
Contoh yang paling mudah untuk perbandingan berbalik nilai adalah hubungan antara kecepatan dan waktu seperti tampak pada tabel berikut:
Pada saat membahas tentang jarak , kecepatan dan waktu ada jawaban menarik yang saya peroleh dari siswa.
“Bagaimana hubungan antara jarak , kecepatan dan waktu?” , tanya saya pada siswa.
” Jarak sama dengan kecepatan dikalikan waktu,” jawab beberapa siswa. Ya, mereka sudah mendapatkan materi ini saat SD.
Tiba-tiba ada seorang siswa yang menjawab , “Rumus Jokowi, Bu!”
He? Saya langsung menoleh dan melihat anak yang bersangkutan. Apa hubungan materi hari ini dengan Pak Presiden? pikir saya.
“Maksudnya bagaimana, Latif?” tanya saya ingin tahu.
Latif tersenyum , ini dari guru SD saya Bu.. biar cepat hafal,” katanya.
“Latif bisa menerangkan mengapa dinamakan rumus Jokowi?”
Latif maju ke depan sambil menggambar segitiga, lalu menerangkan sebagai berikut:
Rumus jarak, kecepatan dan waktu, sumber gambar : Siklikal.com
Jarak dirumuskan dengan J, kecepatan dengan K dan waktu dengan W. Dari gambar di atas bisa diperoleh:
J = K x W
K = J/W
W = J/ K
Aha, cara yang sangat kreatif. Mungkin saya yang ketinggalan zaman ya? Ketika saya tanya pada siswa yang lain apakah pernah mendapatkan rumus Jokowi. Banyak yang menjawab pernah, dari guru SD nya.
Meski berkali-kali saya tekankan pada siswa supaya rumus jangan hanya dihafal, tapi pahami dia dari mana berasal, terbukti cara menghafal seperti ini sangat efektif dan langsung menempel di ingatan.
Yang perlu dijelaskan mungkin kata Jokowi diperoleh dari huruf J, K, W, supaya mudah menghafal saja, karena beliau adalah orang nomor satu di negeri ini, dan sama sekali tidak ada kaitannya dengan Pak Jokowi. He.. he..
“Jangan katakan hal-hal kecil dengan banyak kata, tapi katakanlah sesuatu yang besar dengan sedikit kata”
(Pythagoras)
Pythagoras adalah seorang matematikawan dan filsuf besar dari Yunani. Beliaulah yang pertama kali mengenalkan istilah philosophia ( pecinta kebenaran). Pythagoras lahir di pulau Samos Yunani. Beliau adalah putera dari seorang pedagang permata.
Sebelum kelahirannya para pendeta sudah meramalkan akan lahir seorang anak yang menjadi panutan negara bahkan oleh dunia.
Sejak kecil Pythagoras sudah menunjukkan karakter suka belajar. Berbagai macam ilmu dipelajari , di antaranya matematika, filsafat dan seni.
Setelah berguru ke mana-mana di usia40 tahun beliau kembali ke Samos. Dua tahun di Samos Pythagoras pergi ke Kroton karena penguasa Yunani saat itu Pericles tidak menyukainya. Pythagoras lalu mendirikan sekolah setengah lingkaran dan mendirikan aliran yang bernama Pythagorean.
Aliran Pythagorean berusaha menggabungkan sains, mistik dan matematika. Matematika dalam tradisi Pythagoras dipandang secara berbeda dengan matematika sekarang.Hal ini karena mereka menganggap angka adalah sesuatu yang sakral. Semboyan mereka adalah Number Rules the Universe.
Tentang Teorema Pythagoras
Salah satu peninggalan Pythagoras yang terkenal adalah teorema Pythagoras.
Walaupun fakta di dalam teorema ini telah banyak diketahui sebelum lahirnya Pythagoras , namun teorema ini dikreditkan kepada Pythagoras karena beliaulah yang pertama membuktikan pengamatan ini secara matematis.
Teorema Pythagoras berbunyi kuadrat sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat kedua sisi yang lain. Teorema tersebut bisa dituliskan sebagai berikut:
Sumber gambar: matematika 8 Kemdikbud
Teorema Pythagoras bisa dijelaskan dengan cara sebagai berikut:
Sumber gambar: Saintif
Pada gambar di atas luas persegi merah (25) sama dengan luas persegi biru(9) ditambah luas persegi kuning (16), atau 25 = 9 +16, atau 5^2 = 3^2+4^2.
Contoh penggunaan teorema Pythagoras:
Perhatikan dua soal berikut ini:
Dengan bantuan garis putus-putus bisa dibentuk segitiga siku- siku yang mempunyai tinggi 7 cm dan panjang hipotenusa 25 cm. Panjang alas segitiga siku-siku ( misal x) bisa dicari dengan rumus sebagai berikut:
x2 = 252 – 72
= 625 – 49
= 576
x = 24
Karena panjang alas segitiga siku-siku adalah 24 cm, panjang AB adalah 24-4 = 20 cm. Luas segitiga ABC adalah ½ x 20 x 7 = 70 cm2.
Dari contoh soal no 1 dan 2 bisa disimpulkan bahwa 9,12,15 dan 7,24,25 adalah bilangan bulat –bilangan bulat yang merupakan sisi-sisi segitiga siku-siku. Bilangan semacam itu dinamakan triple Pythagoras.
Berikut adalah contoh triple Pythagoras yang lain:
Sumber gambar: tangkapan layar pribadi
Bagaimana menggunakan triple Pythagoras?
Contoh : Sebuah segitiga ABC siku-siku di B. Jika panjang AB adalah 15 cm dan BC adalah 20 cm, berapa panjang hipotenusanya?
Dari tabel di atas (tipe 1) bisa diperoleh triple Pythagoras 15,20,25. Karena panjang AB=15, BC= 20 maka AC = 25 cm.
Teorema Pythagoras banyak digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari , misal saat menentukan ukuran bangunan. Dalam matematika teorema ini banyak digunakan saat kita belajar bangun datar maupun bangun ruang.
Contoh penggunaan Teorema Pythagoras untuk menyelesaikan masalah bangun ruang
Gambar berikut merupakan prisma tegak segitiga siku-siku. Tentukan luas permukaan prisma tersebut.
Penyelesaian
Untuk mencari luas permukaan prisma segitiga tersebut, terlebih dulu kita cari panjang semua alasnya, yaitu
AB2= AC2+ BC2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25
Jadi panjang AB = 5
Sehingga diperoleh:
L = 2 × luas alas + keliling alas × tinggi
= 2 ×1/2 × 3 × 4 + (3 + 4 + 5) × 8
= 12 + (12) × 8
= 12 + 96
= 108 cm2
Jadi, luas permukaan prisma tegak segitiga siku-siku adalah 108 cm2.
Temuan lain yang ditemukan oleh Pythagoras adalah nisbah emas (golden ratio). Berdasarkan penemuan Pythagoras ternyata matematika memiliki banyak keindahan yang bisa ditemukan dari berbagai fenomena alam yang terjadi di dunia ini, yang mengarah pada golden ratio.
Lebih khusus lagi Pythagoras menyatakan bahwa keindahan matematika dapat dinyatakan lewat bilangan atau kuasa angka-angka. Pythagoras berprinsip bahwa segala sesuatu adalah angka, dan perbandingan emas adalah raja semuanya.
Sejarah kehidupan Pythagoras banyak diliputi oleh mitos. Ada sebuah kisah suatu saat Pythagoras pergi ke laut dan bertemu dengan seorang nelayan yang membawa banyak tangkapan ikan. Pythagoras berkata pada nelayan tersebut bahwa ia bisa menyebut secara tepat jumlah ikan yang ditangkap. Namun dengan syarat jika tebakannya benar maka ikan ikan tersebut harus dimasukkan kembali ke laut.
Ternyata tebakan Pythagoras benar, ikan-ikan itupun dilepaskan lagi dan konon menurut cerita ikan –ikan itu hidup kembali.
Kehidupan Pythagoras berakhir tragis. Karena aliran Pythagorean dianggap sesat, pada suatu hari padepokan Pythagoras diserbu dan dibakar. Diceritakan Pythagoras meninggal dalam peristiwa itu.
Pythagoras telah tiada, tapi peninggalannya masih terus kita pelajari hingga sekarang.
Di kala istirahat kami sesama guru matematika selalu menyempatkan diri untuk berdiskusi. Diskusi berkisar tentang pembelajaran di kelas dan segala masalah yang timbul. Tentang bagaimana mengajarkan materi yang pas, atau juga kesulitan kesulitan yang muncul di lapangan.
Dalam beberapa diskusi terakhir ini ternyata masalah yang kami hadapi hampir sama yaitu rendahnya kemampuan siswa dalam melakukan operasi hitung. Akibat daring dua tahun benar-benar kami rasakan.
Indikasi dari penurunan kemampuan ini bisa dilihat dari kesulitan anak melalukan operasi hitung bahkan yang sangat sederhana. Operasi kali, bagi, tambah dan kurang begitu gagap dilakukan anak-anak padahal anak anak sudah duduk di tingkat SMP.
Jangankan melakukan operasi pada bilangan pecahan, bilangan bulat masih harus ditata lagi.
Sebagai contoh dalam sebuah tes diagnostik ketika siswa diminta menyelesaikan 2/15 + 1/5 masih banyak yang menjawah 3/20. Atau mengerjakan 3/8 x 1/4 dengan cara 3/8 x 1/4 = 3/8 x 2/8 = 6/64 = 3/32 Pada saat siswa saya minta untuk mengalikan 42,6 x 5, lama sekali jawaban baru muncul. Itupun harus ada satu orang yang melakukan perkalian bersusun di papan atas bimbingan guru.
Menghitung perkalian bersusun, sumber gambar: Wajib Baca.com
Itu masih beberapa kasus yang muncul. Belum lagi pada aljabar. Bagaimana mencari nilai dari sebuah variabel masih kacau di sana sini.
Berdasarkan pengalaman pembelajaran selama dua bulan terakhir ada beberapa catatan yang didapatkan adalah:
1. Siswa kurang menguasai konsep matematika. Sebagai contoh siswa masih rancu dengan cara melakukan operasi hitung pada bilangan pecahan.
Seharusnya ketika melakukan pengurangan atau penjumlahan pecahan, penyebut harus disamakan sementara pada operasi perkalian dan pembagian pecahan, penyebut tidak perlu disamakan.
Tapi pada contoh di atas, ketika mengerjakan 2/15 + 1/5 siswa langsung menjumlahkan pem bilang dengan pembilang, penyebut dengan penyebut sehingga diperoleh 3/20, seharusnya melalui proses menyamakan penyebut dahulu menjadi 2/15 + 1/5=2/15 + 3/15 = 5/15 atau 1/3
Sebaliknya ketika mengalikan 3/8 x 1/4 siswa menyamakan penyebutnya dahulu dengan cara 3/8 x 1/4 = 3/8 x 2/8 = 6/64 = 3/32 Padahal soal tersebut bisa diselesaikan dengan cara 3/8 x 1/4 = 3/32. Pembilang kali pembilang dan penyebut kali penyebut.
Benar -benar pemahaman konsep yang terbolak balik.
Siswa juga curhat bahwa saat daring mereka sulit memahami materi saat belajar lewat video atau zoom.
Siswa belajar daring, Sumber gambar: Republika
Ya, materi yang dibahas di atas adalah operasi bilangan pecahan kelas tujuh. Dasar dari operasi bilangan pecahan didapat siswa di kelas lima SD, dan mereka mendapatkannya full daring.
Bisa dipahami jika pemahaman siswa sangat minim. Matematika adalah pelajaran abstrak. Untuk tingkat SD atau SMP guru harus berusaha mengkonkritkan yang abstrak tersebut dalam kehidupan nyata. Sering butuh bantuan peraga agar konsepnya bisa diterima siswa. Di masa daring hal tersebut sangat sulit dilakukan karena banyaknya batasan.
Hal tersebut diperparah dengan siswa tidak berani bertanya saat daring. Banyak siswa yang merasa jika bertanya ia akan tampak bodoh di hadapan teman-temannya.
2. Sering menggunakan kalkulator. Ketika saya tanyakan hal ini siswa senyum senyum mengiyakan. Pembelajaran daring selama hampir dua tahun membuat siswa merasa bebas dan sering menggunakan kalkulator dalam memecahkan masalah matematika.
Penggunaan kalkulator sebenarnya tidak dilarang tapi tidak untuk anak SD atau SMP karena di tingkat tersebut dasar dasar menghitung mulai ditanamkan.
Akibatnya sekarang dalam pembelajaran matematika saya mengajak anak anak mundur sejenak. Ya, mundur untuk memantapkan lagi konsep matematika SD. Belajar bagaimana melakukan operasi hitung sederhana seperti perkalian bersusun, pembagian bersusun, operasi pecahan sederhana, bahkan mengingatkan lagi perkalian dengan jari atau jarimatika.
Jarimatika, Sumber gambar: SehatQ
Tak apa, penguatan konsep perlu dilakukan agar siswa bisa menerima materi berikutnya dengan lebih mudah.
Bukankah dalam kehidupan kadang kita harus mundur sejenak untuk membuat ancang-ancang agar bisa membuat lompatan yang lebih jauh ?
Ilustrasi belajar matematika, Sumber gambar : SindoNews
Salah satu strategi pemecahan masalah matematika adalah penemuan pola. Dalam tulisan ini akan dipaparkan tentang penggunaan penemuan pola dalam memecahkan masalah matematika, juga betapa keteraturan atau pola banyak kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari.
Strategi Pemecahan Masalah Matematika dengan Penemuan Pola
Dalam pembelajaran matematika tentang pola bilangan sering dijumpai soal seperti ini: 1. Pada barisan bilangan berikut berapakah suku ke 50?
Sumber gambar tangkapan layar pribadi
2. Pada barisan bilangan berikut berapakah suku ke 50?
Sumber gambar tangkapan layar pribadi
3. Berapakah angka satuan dari 2^ 2000 + 3^950?
Untuk soal nomor satu dan dua biasanya ada dua cara yang dilakukan siswa untuk menjawab.
Cara yang pertama adalah langsung. menggunakan rumus. Jumlah noktah yang ada di soal nomor satu menunjukkan pola bilangan segiempat. Pola bilangan segiempat dirumuskan dengan Un = n² + n. Jadi suku ke 50 adalah U50 = 50² + 50 = 2550
Jumlah noktah pada soal kedua menunjukkan pola bilangan segitiga yang dirumuskan dengan Un = 1/2 (n² + n).
Jadi suku ke 50 atau U50 = 1/2 (50² + 50 )= 2550/2 = 1275
Sebuah cara yang efisien karena untuk mencari suku ke n tinggal memasukkan saja nilai n ke rumus dan langsung keluar hasilnya.
Cara yang kedua adalah dengan mengamati gambar dan melihat polanya.
Untuk soal pertama jumlah noktah tiap suku adalah hasil perkalian dari banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jumlah noktah di tiap suku ditulis sebagai berikut : Suku ke -1 adalah 1 x 2 = 2 Suku ke -2 adalah 2x 3= 6 Suku ke -3 adalah 3 x 4 = 12 Suku ke -4 adalah 4x 25= 20, maka Suku ke -50 adalah 50 x (50+1) = 2550
Pada soal kedua jumlah noktah di tiap suku adalah setengah dari tiap noktah dari soal nomor 1, atau bisa ditulis: Suku ke -1 adalah 1/2(1 x 2 )= 1 Suku ke -2 adalah 1/2 (2x 3)= 3 Suku ke -3 adalah 1/2(3 x 4) = 6 Suku ke -4 adalah 1/2(4x 5)= 10, maka Suku ke -50 adalah 1/2(50 x (50+1)) = 1275
Dengan menggunakan rumus atau mengamati gambar hasil yang diperoleh siswa.
Jika menggunakan rumus keunggulannya adalah waktunya lebih cepat. Keunggulan dari cara kedua (melihat pola) adalah siswa akan lebih peka terhadap keteraturan sebuah pola dan bisa menggunakannya untuk. memecahkan masalah, seperti soal nomor 3.
Pada soal nomor tiga untuk mencari angka satuan 2^ 2000 + 3^950, kita tidak perlu mencari hasil dari 2^2000 dan 3^950. Cukup kita cari angka satuan dari 2^2000 dan 3^ 950 dengan menggunakan pola.
Nah, mari kita amati keteraturan pada hasil perpangkatan berikut: 2 pangkat 1 = 2 2 pangkat 2= 4 2 pangkat 3= 8 2 pangkat 4= 16 2 pangkat 5= 32 2 pangkat 6= 64 2 pangkat 7= 128 2 pangkat 8= 256 2 pangkat 9= 512… dst Bisa dilihat bahwa angka satuannya adalah 2,4,8,6,2,4,8,6,…dst. Pola tersebut berulang setiap empat angka.
Karena 2000 adalah kelipatan 4, maka angka satuan dari 2^2000 adalah 6. Sekarang mari kita perhatikan hasil perpangkatan tiga berikut ini:
Bisa diamati bahwa hasilnya memiliki angka satuan 3,9,7,1,3,9,7,1,…dst.
Pola tersebut berulang setiap empat angka. Karena 950 :4 = 237 bersisa dua, maka angka satuan dari 3^950 adalah 9, dan 6+9 = 15. Jadi angka satuan dari 2^ 2000 + 3^950 adalah 5
Bisa menangkap keteraturan pola sangat berguna untuk menyelesaikan masalah matematika, karena banyak soal matematika yang bisa diselesaikan dengan mudah dengan menggunakan keteraturan pola.
Matematika dan Keteraturan Pola di Sekitar Kita
Sumber gambar: Pinterest
Sebenarnya banyak keteraturan pola yang bisa dijumpai di alam raya yang bisa dikaitkan dengan matematika. Matahari yang selalu terbit dan tenggelam pada waktunya, bulan yang bentuknya berubah-ubah secara teratur juga planet yang setia berputar pada garis edarnya. Semua sudah diperhitungkan dengan begitu cermat.
Jumlah kelopak berbagai macam bunga, sisik nanas, bunga matahari , kita bisa menemukan keteraturan pola yang bisa dikaitkan dengan bilangan Fibonacci.
Bilangan Fibonacci adalah barisan bilangan yang berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonacci yang pertama adalah: 0,1,1,2,3,5,8,13,21, 34, 55, 89, 144,…
Pada benda-benda sekitar kita juga bisa dijumpai hitungan-hitungan yang akhirnya menunjuk pada bilangan tertentu. Misal perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran yang selalu menunjuk pada pi (3.14), perbandingan antara dua angka berurutan pada bilangan Fibonacci akan mendekati golden ratio, sebuah bilangan istimewa yang banyak digunakan dalam disiplin ilmu yang lain misalnya desain.
Lewat semua fenomena keteraturan pola itu kita bisa merasakan bahwasanya segala sesuatu di alam raya tidak dibuat begitu saja, semua memerlukan hitungan yang begitu akurat. Melaluinya pula kita bisa merasakan kehadiran sebuah tangan besar, yang mengatur segala sesuatu di alam raya ini dengan demikian indahnya.
